Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

），左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF₂|+|AF₂|的最大值是5，則a的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF₂|+|AF₂|=2a-|AB|，再由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值3代入|BF₂|+|AF₂|=4a-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于5列式求a的值．

解答： 解：由題意，焦點(diǎn)在x軸上，
∵過(guò)F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，∴|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a，
∴|BF₂|+|AF₂|=4a-|AB|．
當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
∵AB垂直x軸時(shí)，AB為通徑，
∴|AB|=

2b2

a

=

6

a

，∴5=4a-

6

a

，
∵a＞

3

，
∴a=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，是中檔題．