Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|-a（a∈R）
（1）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)g（x）=lnf（x）的定義域；
（2）若函數(shù)h（x）=

f(x)

的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0，則有|x+1|+|x+2|-5＞0，討論當(dāng)x≤-2時(shí)，當(dāng)x≥-1時(shí)，當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，去掉絕對(duì)值，解出不等式，最后求并集即可；
（2）函數(shù)h（x）=

f(x)

的定義域?yàn)镽，則f（x）≥0恒成立，即有|x+1|+|x+2|≥a恒成立，只需a≤（|x+1|+|x+2|）_min，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可得到最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=5時(shí)，f（x）=|x+1|+|x+2|-5，
g（x）=lnf（x）=ln（|x+1|+|x+2|-5），
即有|x+1|+|x+2|-5＞0，
當(dāng)x≤-2時(shí)，-x-1-x-2-5＞0，即x＜-4，則有x＜-4；
當(dāng)x≥-1時(shí)，x+1+x+2-5＞0，即x＞1，則有x＞1；
當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，-x-1+x+2-5＞0，即-4＞0，則x無解．
故x＞1或x＜-4．
故函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?∞，-4）∪（1，+∞）；
（2）由于函數(shù)h（x）=

f(x)

的定義域?yàn)镽，
則f（x）≥0恒成立，
即有|x+1|+|x+2|≥a恒成立，
只需a≤（|x+1|+|x+2|）_min，
由于|x+1|+|x+2|≥|（x+1）-（x+2）|=1，
則有a≤1．
故a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域的求法，注意對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0，偶次根式被開方式非負(fù)，同時(shí)考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．