Question

已知函數(shù)f（x）=4x+

a

x

+b（a，b∈R）為奇函數(shù)．
（1）若f（1）=5，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當a=-2時，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求實數(shù)t的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到f（-1）=-f（1），又f（1）=5，聯(lián)立方程組求解a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）把a=-2代入函數(shù)解析式，利用導數(shù)求其最大值，則答案可求．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=4x+

a

x

+b（a，b∈R）為奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），又f（1）=5，
∴

-4-a+b=-4-a-b 4+a+b=5

，解得b=0，a=1．
∴f（x）=4x+

1

x

；
（2）當a=-2時，f（x）=4x-

2

x

，
f′(x)=

4x2+2

x2

．
∵1≤x≤4，
∴f′(x)=

4x2+2

x2

在[1，4]恒大于0，即f（x）=4x-

2

x

在[1，4]上單調(diào)遞增．
當x=4時，f(x)max=f(4)=

31

2

．
∴滿足不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立的實數(shù)t的最小值為

31

2

．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．