Question

7．若存在a∈R，使關(guān)于x的不等式x|x-a|＜m+1在（0，1]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （2-2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$）
• B． （-1，+∞）
• C． （2-2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-1，2+2$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 若存在a∈R，使關(guān)于x的不等式x|x-a|＜m+1在（0，1]上恒成立，則存在a∈R，使|x-a|＜$\frac{m+1}{x}$在（0，1]上恒成立，即存在a∈R，使-$\frac{m+1}{x}$-x＜-a＜$\frac{m+1}{x}$-x在（0，1]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)分別求出最值，可得答案．

解答 解：若存在a∈R，使關(guān)于x的不等式x|x-a|＜m+1在（0，1]上恒成立，
則存在a∈R，使|x-a|＜$\frac{m+1}{x}$在（0，1]上恒成立，
故m+1＞0，即m＞-1，
則存在a∈R，使-$\frac{m+1}{x}$＜x-a＜$\frac{m+1}{x}$在（0，1]上恒成立，
則存在a∈R，使-$\frac{m+1}{x}$-x＜-a＜$\frac{m+1}{x}$-x在（0，1]上恒成立，
令g（x）=$\frac{m+1}{x}$-x，則g（x）=$\frac{m+1}{x}$-x在（0，1]上為減函數(shù)，當(dāng)x=1時，達最小值m，
令f（x）=-$\frac{m+1}{x}$-x，則f′（x）=$\frac{m+1}{{x}^{2}}$-1，
若m+1≥1，即m≥0，則f′（x）≥0在（0，1]上恒成立，當(dāng)x=1時，達最大值-m-2，
此時-m-2＜m，解得：m＞-1，故m≥0，
若m+1＜1，即-1＜m＜0，則在（0，$\sqrt{m+1}$）上，f′（x）＞0，在（$\sqrt{m+1}$1]上，f′（x）＜0，
當(dāng)x=$\sqrt{m+1}$時，達最大值-2$\sqrt{m+1}$，
此時-2$\sqrt{m+1}$＜m，解得：2-2$\sqrt{2}$＜m＜2+2$\sqrt{2}$，故m＞2-2$\sqrt{2}$，
綜上可得：實數(shù)m的取值范圍為（2-2$\sqrt{2}$，+∞），
故選：C．

點評 本題考查的知識點是恒成立問題，絕對值不等式的解法，難度較大．