Question

17．設e₁，e₂為平面上夾角為θ（$0＜θ≤\frac{π}{2}$）的兩個單位向量，O為平面上的一個固定點，P為平面上任意一點，當$\overrightarrow{OP}=x{e_1}+y{e_2}$時，定義（x，y）為點P的斜坐標．現(xiàn)有兩個點A，B的斜坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．則A，B兩點的距離為$\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}+2（{{x_1}-{x_2}}）（{{y_1}-{y_2}}）cosθ}$．

Answer 1

分析 $|\overrightarrow{{e}_{1}}|$=$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ.$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow{{e}_{2}}$，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：$|\overrightarrow{{e}_{1}}|$=$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ．
∵$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}+2（{x}_{2}-{x}_{1}）（{y}_{2}-{y}_{1}）cosθ}$，
故答案為：$\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}+2（{{x_1}-{x_2}}）（{{y_1}-{y_2}}）cosθ}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、數(shù)量積定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．