Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2}&{（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）}&{（x＞0）}\end{array}\right.$，若f（f（a））≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)通過討論f（a）≤0，f（a）＜0，分別求解a的范圍即可．

解答 解：由題意可知，當(dāng)f（a）≤0時(shí)，f²（a）+f（a）+2≤2，解得-1≤f（a）≤0，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2}&{（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）}&{（x＞0）}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a≤0\\-1≤{a}^{2}+a+2≤0\end{array}\right.$無解．或$\left\{\begin{array}{l}a＞0&\\-1≤lo{g}_{\frac{1}{2}}（a+1）&≤0\end{array}\right.$，解得0＜a＜1；
當(dāng)f（a）＞0時(shí)，$lo{g}_{\frac{1}{2}}（f（a）+1）$≤2，解得-$\frac{3}{4}$≤f（a），函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2}&{（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）}&{（x＞0）}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a≤0\\-\frac{3}{4}≤{a}^{2}+a+2\end{array}\right.$，解得a≤0．或$\left\{\begin{array}{l}a＞0&\\-\frac{3}{4}≤lo{g}_{\frac{1}{2}}（a+1）&\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\root{4}{8}$-1；
綜上a＜1．
故答案為：（-∞，1）．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論以及對數(shù)不等式的解法，考查計(jì)算能力．