Question

14．求下列函數(shù)的值域；
（1）f（x）=x-$\sqrt{1-2x}$；     
（2）f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{x-{x^2}}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由1-2x≥0得x≤$\frac{1}{2}$，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{2}$]，
∵f（x）=x-$\sqrt{1-2x}$在定義域上為增函數(shù)，
∴f（x）≤f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{1-2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$-0=$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{2}$]．
（2）由x-x²＞0得x²-x＜0，得0＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），
則x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈（0，$\frac{1}{4}$]，
則$\sqrt{x-{x}^{2}}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，則$\frac{1}{{\sqrt{x-{x^2}}}}$≥2，
即函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．