Question

9．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點(diǎn)為F，若雙曲線上存在點(diǎn)A使△AOF為正三角形，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 由于OF為半焦距c，利用等邊三角形性質(zhì)，即可得點(diǎn)A的一個坐標(biāo)，代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程即可得雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線上存在點(diǎn)A使△AOF為正三角形，
設(shè)F為右焦點(diǎn)，OF=c，A在第一象限，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
代入雙曲線方程得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1，
即為$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4（{c}^{2}-{a}^{2}）}$=1，
即$\frac{1}{4}$e²-$\frac{3{e}^{2}}{4{e}^{2}-4}$=1，
解得e=1+$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的離心率的定義及其求法，屬中檔題．