Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin²x-cos²x-2$\sqrt{3}$sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（$\frac{2π}{3}$）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式化簡，將x=$\frac{2π}{3}$帶入計算即可；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin²x-cos²x-$2\sqrt{3}$sinx cosx
=-$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=-（$\sqrt{3}$sin2x+cos2x）
=-2 sin（2x+$\frac{π}{6}$）  
=2 sin[π+（2x+$\frac{π}{6}$）]
=2sin（2x+$\frac{7π}{6}$），
（Ⅰ）f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{7π}{6}$）=2sin$\frac{5π}{2}$=2．
（Ⅱ）∵ω=2，
故f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{7π}{6}$$≤2kπ+\frac{π}{2}$，
可得：$kπ-\frac{5π}{6}$≤x≤$kπ-\frac{π}{3}$，k∈Z．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ$-\frac{5π}{6}$，k$π-\frac{π}{3}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．