Question

11．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-2）=0，當x＞0時，$\frac{{x{f^'}（x）-f（x）}}{x^2}＞0$，則xf（x）＞0的解集為{x|x＜-2或x＞2}．

Answer 1

分析 利用題意首先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在特殊的處的函數(shù)值整理計算即可求得最終結(jié)果．

解答 解：由題意可得：$[\frac{f（x）}{x}]'=\frac{xf'（x）-f（x）×x'}{{x}^{2}}＞0$，
則函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$ 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且：$\frac{f（2）}{2}=\frac{-f（-2）}{2}=0$，$\frac{f（-2）}{-2}=0$，
而不等式xf（x）＞0等價于 $\frac{f（x）}{x}＞0$，
函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$ 是偶函數(shù)，則函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$ 在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
據(jù)此可得不等式的解集為：{x|x＜-2或x＞2}．
故答案為：{x|x＜-2或x＞2}．．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．