Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長為2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如圖，橢圓左頂點(diǎn)為A，過原點(diǎn)O的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)．試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與直線PQ的斜率無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用短軸長及離心率即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），由（I）可得直線PA、QA的方程，從而可得以MN為直徑的圓，化簡后令y=0，則x=$±\sqrt{2}$，即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：由短軸長為$2\sqrt{2}$，得b=$\sqrt{2}$，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a²=4，b²=2．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）結(jié)論：以MN為直徑的圓過定點(diǎn)F（$±\sqrt{2}$，0）．         
證明如下：設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，即${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}=4$，
∵A（-2，0），∴直線PA方程為：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，∴M（0，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），
直線QA方程為：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x+2）$，∴N（0，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$），
以MN為直徑的圓為$（x-0）（x-0）+（y-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）（y-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}）=0$，
即${x}^{2}+{y}^{2}-\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}y+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}=0$，
∵${{x}_{0}}^{2}-4=-2{{y}_{0}}^{2}$，∴${x}^{2}+{y}^{2}+\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}y-2=0$，
令y=0，則x²-2=0，解得x=$±\sqrt{2}$．
∴以MN為直徑的圓過定點(diǎn)F（$±\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓，及其與直線的位置關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．