Question

19．已知在平面直角坐標(biāo)系中，角θ滿足sin$\frac{θ}{2}$=-$\frac{3}{5}$，cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{4}{5}$，$\overrightarrow{OA}$=（0，1），點(diǎn)B是角θ終邊上一點(diǎn)，且|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，則|$\overrightarrow{OP}$|的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 由條件利用二倍角公式求得cosθ 和sinθ 的值，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求得B的坐標(biāo)．再根據(jù)平面向量基本定理及其幾何意義，點(diǎn)P在直線AB上，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出O到直線AB的距離，即為所求．

解答 解：由角θ滿足sin$\frac{θ}{2}$=-$\frac{3}{5}$，cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{4}{5}$，可得cosθ=2${cos}^{2}\frac{θ}{2}$-1=$\frac{7}{25}$，sinθ=2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=-$\frac{24}{25}$．
∵點(diǎn)B是角θ終邊上一點(diǎn)，且|$\overrightarrow{OB}$|=1，可得B（$\frac{7}{25}$，-$\frac{24}{25}$）．
∵$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，故點(diǎn)P在直線AB上．
故則|$\overrightarrow{OP}$|的最小值是點(diǎn)O到直線AB的距離，由于AB的方程為$\frac{y-1}{-\frac{24}{25}-1}$=$\frac{x-0}{\frac{7}{25}-0}$，即 7x+y-1=0，
故|$\overrightarrow{OP}$|的最小值是$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{50}}$=$\frac{\sqrt{50}}{50}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二倍角公式，任意角的三角函數(shù)的定義，平面向量基本定理及其幾何意義，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．