Question

10．已知0＜a＜1，試比較|1-3a|與2a$\sqrt{a}$的大�。�

Answer 1

分析 由|1-3a|＞0，2a$\sqrt{a}$＞0，分別平方，構(gòu)造函數(shù)f（a）=4a³-9a²+6a-1，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的值域，通過討論a的范圍，從而比較大�。�

解答 解：∵0＜a＜1，|1-3a|＞0，2a$\sqrt{a}$＞0，
∴|1-3a|²=9a²-6a+1，${（2a\sqrt{a}）}^{2}$=4a³，
令f（a）=4a³-9a²+6a-1，f′（a）=6（2a-1）（a-1），
令f′（a）＞0，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，令f′（a）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∴函數(shù)f（a）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，
∴f（a）_最大值=f（a）_極大值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
而f（0）=-1，f（1）=0，f（$\frac{1}{4}$）=0，
∴0＜a＜$\frac{1}{4}$時，f（a）＜0，∴|1-3a|＞2a$\sqrt{a}$，
a=$\frac{1}{4}$時，|1-3a|=2a$\sqrt{a}$，
$\frac{1}{4}$＜a＜1時，f（a）＞0，∴|1-3a|＜2a$\sqrt{a}$．

點評 本題考查了比較大小的問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．