Question

5．如圖所示，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，△ABO的面積為$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）作與AB平行的直線l交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}ab=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，從而解得；
（Ⅱ）由題意設(shè)直線PQ的方程為y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+m，與橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1聯(lián)立化簡可得8x²+4$\sqrt{5}$bx+5m²-20=0，從而由韋達定理及距離公式可得$\frac{9}{5}$（10-$\frac{5}{4}$m²）=$\frac{81}{5}$，從而解出m即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}ab=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
解得，a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）直線PQ的斜率k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故設(shè)直線PQ的方程為y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+m，
與橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1聯(lián)立化簡可得，
8x²+4$\sqrt{5}$bx+5m²-20=0，
故x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，x₁x₂=$\frac{1}{8}$（5m²-20），
故（1+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²）（（-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m）²-4×$\frac{1}{8}$（5m²-20））=（$\frac{9\sqrt{5}}{5}$）²，
即$\frac{9}{5}$（10-$\frac{5}{4}$m²）=$\frac{81}{5}$，
即10-$\frac{5}{4}$m²=9，
故$\frac{5}{4}$m²=1，
故m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
故直線l的方程為y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；即2$\sqrt{5}$x-5y±2$\sqrt{5}$=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程的應(yīng)用及韋達定理與兩點間距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．