Question

8．某機構(gòu)為了解某地區(qū)中學生在校月消費情況，隨機抽取了100名中學生進行調(diào)查．右圖是根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖：

已知[350，450），[450，550），[550，650）三個金額段的學生人數(shù)成等差數(shù)列，將月消費金額不低于550元的學生稱為“高消費群”．
（Ⅰ）求m，n的值，并求這100名學生月消費金額的樣本平均數(shù)$\overline x$（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅱ）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從月消費金額落在[350，450），[550，650）內(nèi)的兩組學生中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“高消費群”的學生人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知 100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，由此能求出m，n的值，并求這100名學生月消費金額的樣本平均數(shù)$\overline x$．
（Ⅱ）由題意從[350，450）中抽取7人，從[550，650）中抽取3人，隨機變量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列及隨機變量X的數(shù)學期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由題意知 100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，
故m=0.0025，n=0.0035．…（3分）
所求平均數(shù)為：$\overline x=300×0.15+400×0.35+500×0.25+600×0.15+700×0.10=470$（元）…（5分）
（Ⅱ）由題意從[350，450）中抽取7人，從[550，650）中抽取3人…（7分）
隨機變量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，
$P（X=k）=\frac{{C_3^kC_7^{3-k}}}{{C_{10}^3}}（k=0，1，2，3）$…（9分）
所以，隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{35}{120}$	$\frac{63}{120}$	$\frac{21}{120}$	$\frac{1}{120}$

隨機變量X的數(shù)學期望E（X）=$0×\frac{35}{120}+1×\frac{63}{120}+2×\frac{21}{120}+3×\frac{1}{120}=\frac{9}{10}$…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．