Question

20．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=3，S_nS_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*），則S_n=$\frac{6}{5-3n}$．

Answer 1

分析 分類討論，且由不完全歸納法知S_n≠0；從而化簡S_nS_n-1=2（S_n-S_n-1）為1=2（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$），從而判斷出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，-$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，從而求得．

解答 解：①當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=3，
②當(dāng)n≥2時(shí)，S_nS_n-1=2a_n=2（S_n-S_n-1），
即S_n（S_n-1-2）=-2S_n-1，
∵S₁≠0，∴-2S₁≠0，∴S₂≠0；
∵S₂≠0，∴-2S₂≠0，∴S₃≠0；
故由不完全歸納法知，S_n≠0；
故S_nS_n-1=2（S_n-S_n-1）可化為1=2（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$），
故$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
故{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，-$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（n-1）=-$\frac{1}{2}$n+$\frac{5}{6}$=$\frac{5-3n}{6}$，
故S_n=$\frac{6}{5-3n}$；
故答案為：$\frac{6}{5-3n}$．

點(diǎn)評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及歸納法的應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造數(shù)列的應(yīng)用．