Question

11．觀察下面數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，并寫出每個數(shù)列的一個通項公式：
（1）$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{12}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{12}$，$\frac{1}{3}$，…；
（2）$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{\sqrt{10}}{8}$，$\frac{\sqrt{17}}{15}$，$\frac{\sqrt{26}}{24}$，$\frac{\sqrt{37}}{35}$，…；
（3）2，1，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，…；
（4）$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$，$\frac{25}{8}$，$\frac{65}{16}$，…

Answer 1

分析 （1）由$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{12}$，（　�。�，$\frac{5}{12}$，$\frac{1}{3}$，…，都把分母變成12可得：$\frac{9}{12}$，$\frac{8}{12}$，$\frac{7}{12}$，（　�。�，$\frac{5}{12}$，$\frac{4}{12}$，…，即可得出；
（2）由$\frac{\sqrt{5}}{3}$，（　�。�，$\frac{\sqrt{17}}{15}$，$\frac{\sqrt{26}}{24}$，$\frac{\sqrt{37}}{35}$，…，可得：設(shè)分母為數(shù)列{a_n}，則a₁=3，a₂-a₁=5，a₃-a₂=7，a₄-a₃=9，a₅-a₄=11，…；
可得a₂=8，而分子的被開方數(shù)是分母+2，即可得出．
（3）由2，1，（　�。�，$\frac{1}{2}$，…，把分子都化為2可得：$\frac{2}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{4}$，…，可得第三項；
（4）由$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$，（　�。�，$\frac{65}{16}$，…可得：分母為2ⁿ，而分子為2×1+1，4×2+1，8×3+1，16×4+1，即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{12}$，（　�。�，$\frac{5}{12}$，$\frac{1}{3}$，…，都把分母變成12可得：$\frac{9}{12}$，$\frac{8}{12}$，$\frac{7}{12}$，（　�。�，$\frac{5}{12}$，$\frac{4}{12}$，…，因此第四項為：$\frac{6}{12}$，即$\frac{1}{2}$；
（2）由$\frac{\sqrt{5}}{3}$，（　�。�，$\frac{\sqrt{17}}{15}$，$\frac{\sqrt{26}}{24}$，$\frac{\sqrt{37}}{35}$，…，可得：設(shè)分母為數(shù)列{a_n}，則a₁=3，a₂-a₁=5，a₃-a₂=7，a₄-a₃=9，a₅-a₄=11，…；
∴a₂=8，而分子的被開方數(shù)是分母+2，因此可得：數(shù)列的第二項為：$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
（3）由2，1，（　�。�，$\frac{1}{2}$，…，把分子都化為2可得：$\frac{2}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{4}$，…，可得第三項為：$\frac{2}{3}$；
（4）由$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$，（　�。�，$\frac{65}{16}$，…可得：分母為2ⁿ，而分子為2×1+1，4×2+1，8×3+1，16×4+1，可得a₃=$\frac{25}{8}$．
故答案分別為：$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{8}$；$\frac{2}{3}$；$\frac{25}{8}$．

點評 本題考查了通過觀察求數(shù)列的通項公式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．