Question

5．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=3，S_nS_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*），則S_n=$\frac{6}{5-3n}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項，以$-\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，由此可得S_n ．

解答 解：由S_nS_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*），得
S_nS_n-1=2（S_n-S_n-1）（n≥2，n∈N^*），
即$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=-\frac{1}{2}$（n≥2），
又a₁=3，∴$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{3}$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項，以$-\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}（n-1）=\frac{5-3n}{6}$，
∴${S}_{n}=\frac{6}{5-3n}$．
故答案為：$\frac{6}{5-3n}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．