Question

如圖，已知正三棱柱中，，，為上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求五面體的體積；
（2）當(dāng)在何處時(shí)，平面，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)平面時(shí)，求證：平面平面.

Answer 1

（1）4；（2）為的中點(diǎn)；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要以正三棱柱為幾何背景,考查椎體體積、線面平行、面面垂直的判定，運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法求解證明，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問，由圖形判斷五面體就是四棱錐，所以主要任務(wù)就是求高和底面面積；第二問，利用直線與平面平行的性質(zhì)定理，證明出，所以為中點(diǎn)；第三問，結(jié)合第二問的結(jié)論，由線面垂直的判定定理，得出⊥平面，再由面面垂直的判定定理得出結(jié)果.
試題解析：（Ⅰ）如圖可知五面體是四棱錐，

∵側(cè)面垂直于底面，
∴正三角形的高就是這個(gè)四棱錐的高，
又，．
于是．      4分
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，∥平面．

連結(jié)連結(jié)，∵四邊形是矩形，
∴為中點(diǎn)，
∵∥平面，平面平面＝，
∴，∴為的中點(diǎn)．                      8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當(dāng)∥平面時(shí)，為的中點(diǎn)．
∵為正三角形，為的中點(diǎn)，∴，
由平面，∴，
又，∴⊥平面，
又平面，∴平面⊥平面．                      12分