Question

6．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$，g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$，實(shí)數(shù)a，b滿足a＜b＜0，若?x₁∈[a，b]，?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，則b-a的最大值為（　�。�

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 解法一：函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$，x＞0，g′（x）=$\frac{（1-x）（1+x）}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得：g（x）∈（-∞，4]．函數(shù)f（x）=-x-2-$\frac{4}{x}$．x＜0．f′（x）=-x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{（2-x）（x+2）}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得：因此x=-2時(shí)，函數(shù)函數(shù)取得極小值即最小值，因此f（x）≥2．對(duì)a，b分類討論，要求f（x）_max≤4，即可得出．
解法二：由解法一可得：g（x）∈（-∞，4]．令f（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=4．x＜0．解出即可得出．

解答 解法一：函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$，x＞0，g′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{（1-x）（1+x）}{x}$
可知：0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）在（0，1）上
單調(diào)遞增；
x＞1時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（1）=0-$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$=4．
因此g（x）∈（-∞，4]．
函數(shù)f（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=-x-2-$\frac{4}{x}$．x＜0．
f′（x）=-x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{（2-x）（x+2）}{{x}^{2}}$，
可知：2-x＞0，-2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）
在（-2，0）上單調(diào)遞增；
x＜-2時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減．
因此x=-2時(shí)，函數(shù)取得極小值，f（-2）=2．
①當(dāng)-2≤a＜b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，
f（a）=-a-2-$\frac{4}{a}$∈（2，+∞），f（b）=-b-2-$\frac{4}$∈（2，+∞），
∴f（x）∈[f（a），f（b）]，
∵?x₁∈[a，b]，?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴f（b）≤4，解得$-2＜b≤\sqrt{5}-3$．此時(shí)b-a=$\sqrt{5}-3$-（-2）=$\sqrt{5}-1$．
②當(dāng)a＜-2≤b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，b]上單調(diào)遞增，在[a，-2）上單調(diào)遞減．
f（a）=-a-2-$\frac{4}{a}$∈（2，+∞），f（b）=-b-2-$\frac{4}$∈（2，+∞），f（-2）=2．
∴f（x）∈[2，t]，t={f（a），f（b）}_max．
∵?x₁∈[a，b]，?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴f（b）≤4，解得$-2＜b≤\sqrt{5}-3$．同理可得：-3$-\sqrt{5}$≤a＜-2．此時(shí)b-a=2$\sqrt{5}$．
③當(dāng)a＜b≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，
f（a）=-a-2-$\frac{4}{a}$∈（2，+∞），f（b）=-b-2-$\frac{4}$∈（2，+∞），∴f（x）∈[f（b），f（a）]，
∵?x₁∈[a，b]，?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴f（a）≤4，解得-3$-\sqrt{5}$≤a＜-2．此時(shí)b-a≤1+$\sqrt{5}$．
綜上可得：b-a的最大值為2$\sqrt{5}$．
解法二：由解法一可得：g（x）∈（-∞，4]．
令f（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=4．x＜0．
化為x²+6x+4=0，
∴b-a的最大值=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-4×4}$=2$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．