Question

11．已知a_n=log₂3log₃4…log_n（n+1），使a_n∈N的n叫希望數(shù)，求在[1，2015]內(nèi)所有希望數(shù)的和．

Answer 1

分析 化簡a_n=log₂3log₃4…log_n（n+1）=log₂（n+1），利用使a_n∈N的n叫希望數(shù)，得n=2^m-1，給m依次取值，可得區(qū)間[1，2015]內(nèi)所有希望數(shù)，然后求和．

解答 解：a_n=log₂3log₃4…log_n（n+1）=log₂（n+1），a_n∈N的n叫希望數(shù)，log₂（n+1）為整數(shù)，
設(shè)log₂（n+1）=m，則n+1=2^m，∴n=2^m-1； 因為2¹¹=2048＞2015，
∴區(qū)間[1，2015]內(nèi)所有希望數(shù)為2¹-1，2²-1，2³-1，2⁴-1，…，2¹⁰-1，
其和M=2¹-1+2²-1+2³-1+2⁴-1+…+2¹⁰-1=2036．
故答案為：2036．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，數(shù)列求和，求出區(qū)間[1，20105]內(nèi)所有希望數(shù)，2¹-1，2²-1，2³-1，2⁴-1，…，2¹⁰-1，是解題的關(guān)鍵．