Question

6．已知函數(shù)f（x）=xe^x-1-$\frac{1}{2}$mx²-mx，m∈R．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值．

Answer 1

分析 （1）欲求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程只需求出切線斜率k=f′（1），從而求出切線方程；
（2）求出 f′（x）=e^x-1（x+1）-mx-m=（x+1）（e^x-1-m），通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
分 ①當(dāng)m≤0，②當(dāng)m＞0 討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；

解答 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=xe^x-1，f′（x）=e^x-1（x+1），
f′（1）=2，f（1）=1，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0
（2）f′（x）=e^x-1（x+1）-mx-m=（x+1）（e^x-1-m），
①當(dāng)m≤0時(shí)，e^x-1-m＞0恒成立，當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，+∞）單調(diào)遞增，有極小值f（-1）=-e^-2+$\frac{1}{2}m$．
②當(dāng)m＞0時(shí)，令f′（x）=e^x-1（x+1）-mx-m=（x+1）（e^x-1-m）=0，
可得₁=-1，x₂=lnm+1
當(dāng)0＜m＜e^-2時(shí)，x₂＜x₁，
x∈（-∞，lnm+1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（lnm+1，-1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
此時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，lnm+1），（-1，+∞）單調(diào)遞增，在（lnm+1，-1）單調(diào)遞減，
有極大值f（lnm+1）=-$\frac{1}{2}（lnm+1）^{2}$，有極小值f（-1）=-e^-2+$\frac{1}{2}m$．；
當(dāng)m=e^-2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)m＞e^-2時(shí)，x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（-1，lnm+1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（lnm+1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
此時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（lnm+1，+∞）單調(diào)遞增，在（-1，lnm+1）單調(diào)遞減，
有極小值f（lnm+1）=-$\frac{1}{2}（lnm+1）^{2}$，有極大值f（-1）=-e^-2+$\frac{1}{2}m$．；

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的極值問題及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了分類討論思想，屬于中檔題．