Question

18．已知AC、BD為圓O：x²+y²=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，1），則四邊形ABCD的面積的最大值為（　�。�

• A． 6
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 5
• D． 5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則d₁²+d₂² =2，代入面積公式S=$\frac{1}{2}$|AC||BD|，使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值．

解答 解：如圖，連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F
∵AC⊥BD
∴四邊形OEMF為矩形
已知OA=OC=2，OM=$\sqrt{2}$，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
則d₁²+d₂²=OM²=2．
四邊形ABCD的面積為：S=$\frac{1}{2}$•|AC|（|BM|+|MD|），
從而：S=$\frac{1}{2}$|AC||BD|=2$\sqrt{（4-{karskv1_{1}}^{2}）（4-{dv9w1bm_{2}}^{2}）}$≤8-（d₁²+d₂²）=6，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時取等號，
故選：A．

點評 此題考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．解答關(guān)鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對角線長度之積的一半來計算．