Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，且3S_n=4a_n-4．又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$，求使得不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用再寫一式，兩式相減的方法求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式、利用數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$，裂項(xiàng)求和，不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立，即k≥$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$恒成立，即可實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）由3S_n=4a_n-4可得a₁=4，
∵3S_n=4a_n-4，∴3S_n-1=4a_n-1-4，∴3S_n-3S_n-1=4a_n-4-（4a_n-1-4），
∴3a_n=4a_n-4a_n-1，即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=4$．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=4，公比為4的等比數(shù)列，∴${a_n}={4^n}={2^{2n}}$．
又b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=2+4+…+2（n-1）+2n=n（n+1），
∴b_n=n（n+1）．
（2）${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立，即k≥$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$恒成立，
設(shè)d_n=$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$，則d_n+1-d_n=$\frac{11-6n}{{4}^{n-1}}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{d_n}單調(diào)遞減，當(dāng)1≤n＜2時(shí)，數(shù)列{d_n}單調(diào)遞增；
即d₁＜d₂＞d₃＞d₄＞…，
∴數(shù)列最大項(xiàng)為${d_2}=\frac{1}{16}$，∴$k≥\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的圖象，考查裂項(xiàng)法求和，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．