分析 (Ⅰ)利用橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),列出方程組求解a,b即可.
(Ⅱ)設(shè)MP,NQ所在直線方程分別為y=-x+m,y=x+n,N(x1,y1),Q(x2,y2),NQ中點(diǎn)P(x0,y0).利用直線與橢圓聯(lián)立方程組,利用判別式以及韋達(dá)定理,通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式,求出四邊形面積表達(dá)式,利用0≤n2<4,所以0≤m2<1.求解四邊形MNPQ面積的最大值.
解答 (本題滿分8分)
解:(Ⅰ)根據(jù)題意得,$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ b=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}.\end{array}\right.$解得$a=\sqrt{3}$.
所求橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$.…(3分)
(Ⅱ)因?yàn)镸N=MQ,PN=PQ,所以對(duì)角線MP垂直平分線段NQ.
設(shè)MP,NQ所在直線方程分別為y=-x+m,y=x+n,N(x1,y1),Q(x2,y2),NQ中點(diǎn)P(x0,y0).
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=3\\ y=x+n\end{array}\right.$得4x2+6nx+3n2-3=0.
令△=48-12n2>0,得n2<4.${x_1}+{x_2}=-\frac{3n}{2}$,${x_1}{x_2}=\frac{{3{n^2}-3}}{4}$.
則$|NQ|=\sqrt{{{({x_1}-{x_2})}^2}+{{({y_1}-{y_2})}^2}}=\frac{{\sqrt{6(4-{n^2})}}}{2}$.
同理$|MP|=\frac{{\sqrt{6(4-{m^2})}}}{2}$.
所以${S_{四邊形MNPQ}}=\frac{1}{2}|MP||NQ|=\frac{{3\sqrt{(4-{m^2})(4-{n^2})}}}{4}$.
又因?yàn)?{x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3}{4}n$,所以NQ中點(diǎn)$P(-\frac{3}{4}n,\frac{1}{4}n)$.
由點(diǎn)A在直線MP上,得n=-2m,
所以${S_{四邊形MNPQ}}=\frac{1}{2}|MP||NQ|=\frac{{3\sqrt{(4-{m^2})(1-{m^2})}}}{2}$.
因?yàn)?≤n2<4,所以0≤m2<1.
所以當(dāng)m=0時(shí),四邊形MNPQ面積的最大值為3.…(8分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
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分?jǐn)?shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人數(shù) | 20 | 10 | 40 | 10 | 20 |
A. | 3 | B. | 2.5 | C. | 3.5 | D. | 2.75 |
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A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{5}{12}$ |
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A. | (-∞,0] | B. | (-∞,1] | C. | (-∞,2] | D. | (-∞,3] |
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