Question

20．△ABC中，cosA=$\frac{1}{3}$，AB=2，則$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最小值是-$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 以AC為x軸，A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)AC=x，用x表示出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐標(biāo)，得出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$關(guān)于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最小值．

解答 解：以AC為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=x，
則C（x，0），B（$\frac{2}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$），A（0，0）．
∴$\overrightarrow{CA}$=（-x，0），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{2}{3}-x$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=x²-$\frac{2}{3}x$=（x-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{9}$．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取得最小值-$\frac{1}{9}$．
故答案為-$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．