Question

5．如圖，矩形ABEF所在的平面與等邊△ABC所在的平面垂直，AB=2，AF=1，O為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：OE⊥FC；
（2）求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形，確定出OC⊥AB，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得出OC⊥平面ABEF，從而得出OC⊥OE，根據(jù)矩形的邊長的關(guān)系，得出OF⊥OE，從而根據(jù)線面垂直的判定定理，得出OE⊥平面OFC，從而得證OE⊥FC．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用平面的法向量求得二面角的余弦值．

解答 （1）證明：連接OC，OF，∵AC=BC，O是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB．
又∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，
OC?平面ABC，∴OC⊥平面ABEF．
∵OE?平面ABEF，于是OC⊥OE．
又矩形ABEF，AB=2AF=2，∴OF⊥OE．
又∵OF∩OC=O，∴OE⊥平面OFC，∴OE⊥FC．
（2）解：由（1）得，AB=2AF=2，取EF的中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，
OC，OB，OD所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．∵AB=AC，∴$OC=\sqrt{3}$，于是有$F（{0，-1，1}），E（{0，1，1}），B（{0，1，1}），C（{\sqrt{3}，0，0}）$，
從而$\overrightarrow{CE}=（{-\sqrt{3}，1，1}）$，$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，0），
設(shè)平面FCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y+z=0\\-2y=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow n=（{1，0，\sqrt{3}}）$，
同理，可求得平面BCE的一個(gè)法向量$\overrightarrow m=（{1，\sqrt{3}，0}）$，
設(shè)$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夾角為θ，則$cosθ=\frac{{\overrightarrow m\overrightarrow{•n}}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{2×2}=\frac{1}{4}$，
由于二面角F-CE-B為鈍二面角，所以所求余弦值為$-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系空間角、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、等邊三角形與矩形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．