Question

14．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：B₁D⊥平面A₁BC₁，寫出證明過程，并分析上述證明過程中，運用了幾個“三段論”推理，各段推理的大前提是什么？

Answer 1

分析 連接B₁D₁，則證明A₁C₁⊥B₁D，同理可證BC₁⊥B₁D，即可證明B₁D⊥平面A₁C₁B．

解答 證明：連結B₁D₁，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，（大前提是正方形的對角線互相垂直）
又DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥面D₁DB₁，（大前提是直線垂直與平面，直線與平面內(nèi)的任意直線垂直）
∴A₁C₁⊥B₁D，
同理可證B₁D⊥A₁B，
又A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁．（大前提是線面垂直的判定定理）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查“三段論”推理，屬基本知識的考查．