Question

9．若函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²-3x+tlnx在（1，+∞）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，4）
• D． （-∞，4]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，f′（x）=-x-3+$\frac{t}{x}$≤0，在（1，+∞）上是恒成立，對(duì)于恒成立往往是把字母變量放在一邊即參變量分離，另一邊轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值，即可求解．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²-3x+tlnx在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴f′（x）=-x-3+$\frac{t}{x}$≤0，在（1，+∞）上是恒成立，
∴t≤x²+3x，
∵y=x²+3x在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴y＞1+3=4，
∴t≤4，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，4]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題，解題的關(guān)鍵將題目轉(zhuǎn)化成f′（x）≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立進(jìn)行求解，同時(shí)考查了參數(shù)分離法，屬于中檔題．