Question

18．已知A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1上的動(dòng)點(diǎn)，MN為圓（x-1）²+y²=1的一條直徑，則AM•AN的最大值為15．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，得到橢圓上離圓心最遠(yuǎn)的點(diǎn)A，在設(shè)出圓的直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，由平面向量數(shù)量積運(yùn)算求得答案．

解答 解：如圖，

圓（x-1）²+y²=1在橢圓內(nèi)，橢圓上的所有點(diǎn)只有左頂點(diǎn)到圓心（1，0）距離最遠(yuǎn)，
由題意可設(shè)圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為M（1+cosθ，sinθ），N（1-cosθ，-sinθ），
又A（-3，0），
∴$\overrightarrow{AM}$=（4+cosθ，sinθ），$\overrightarrow{AN}$=（4-cosθ，-sinθ），
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=16-cos²θ-sin²θ=15．
∴AM•AN的最大值為15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．