Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-1．
（1）求值f（

π

3

）；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡(jiǎn)可得解析式f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）-

1

2

，從而代入即可求值．
（2）由（1）得f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）-

1

2

，由周期公式及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-1=

1

2

sinx+

1

2

cosx-

1

2

=

2

2

sin（x+

π

4

）-

1

2

．
∴f（

π

3

）=

2

2

sin（

π

3

+

π

4

）-

1

2

=

2

2

cos

π

12

-

1

2

=

2

2

×

1+ 3 2 2

-

1

2

=

3 -1

4

．
（2）由（1）得f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）-

1

2

所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．最大值

2 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識(shí)的考查．