Question

設(shè)定點A、B、C、D是以O(shè)為中心的正四面體的頂點，用σ表示空間以直線OA為軸滿足條件σ（B）=C 的旋轉(zhuǎn)，用τ 表示空間關(guān)于OCD 所在平面的鏡面反射，設(shè)l為過AB中點與CD中點的直線，用ω表示空間以l 為軸的180°旋轉(zhuǎn)．設(shè)σ○τ 表示變換的復(fù)合，先作τ ，再作σ ．則ω可以表示為（　�。�

• A、σ○τ○σ○τ○σ
• B、σ○τ○σ○τ○σ○τ
• C、τ○σ○τ○σ○τ
• D、σ○τ○σ○σ○τ○σ

Answer 1

考點：空間向量的正交分解及其坐標表示

專題：推理和證明

分析：由σ表示空間以直線OA為軸滿足條件σ（B）=C 的旋轉(zhuǎn)，可得：σ（C）=D，σ（D）=B，σ（A）=A，由τ 表示空間關(guān)于OCD 所在平面的鏡面反射，可得：τ（A）=B，τ（B）=A，τ（C）=C，τ（D）=D，結(jié)合ω表示空間以l 為軸的180°旋轉(zhuǎn)，則ω變換后：ω（B）=A，逐一分析四個答案復(fù)合變換后的結(jié)果，比照后，可得結(jié)論．

解答： 解：在如圖所示的正四面體ABCD中，

∵σ表示空間以直線OA為軸滿足條件σ（B）=C 的旋轉(zhuǎn)，
∴σ（C）=D，σ（D）=B，σ（A）=A，
又∵τ 表示空間關(guān)于OCD 所在平面的鏡面反射，
∴τ（A）=B，τ（B）=A，τ（C）=C，τ（D）=D
ω表示空間以l 為軸的180°旋轉(zhuǎn)，則ω變換后：ω（B）=A，
A中，σ○τ○σ○τ○σ（B）=σ○τ○σ○τ（C）=σ○τ○σ（c）=σ○τ（D）=σ（D）=B，不滿足要求；
B中，σ○τ○σ○τ○σ○τ（B）=σ○τ○σ○τ○σ（A）=σ○τ○σ○τ（A）=σ○τ○σ（B）=σ○τ（C）=σ（C）=D，不滿足要求；
C中，τ○σ○τ○σ○τ（B）=τ○σ○τ○σ（A）=τ○σ○τ（A）=τ○σ（B）=τ（C）=C，不滿足要求；
D中，σ○τ○σ○σ○τ○σ（B）=σ○τ○σ○σ○τ（C）=σ○τ○σ○σ（C）=σ○τ○σ（D）=σ○τ（B）=σ（A）=A，滿足要求；
故選：D．

點評：本題考查的知識點是映射，空間變換，推理和證明，要求學(xué)生有較強的邏輯思維能力和空間想像能力，綜合性強，理解幾種變換的對應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．