Question

12．某中學(xué)高三年級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試，進(jìn)人決賽的10人分布如下：從這10人中任選3人給高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行競(jìng)賽指導(dǎo)．

班級(jí)	1班	2班	3班	4班
人數(shù)	2	3	1	4

（1）這3人分別來自不同班級(jí)的概率是多少？
（2）記這3人中來自2班的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從這10人中任選3人給高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行競(jìng)賽指導(dǎo)，先求出基本事件總數(shù)，再求出這3人分別來自不同班級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這3人分別來自不同班級(jí)的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）從這10人中任選3人給高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行競(jìng)賽指導(dǎo)，
基本事件總數(shù)n=${C}_{10}^{3}$=120，
這3人分別來自不同班級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}$+${C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}$+${C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}$=54，
∴這3人分別來自不同班級(jí)的概率p=$\frac{54}{120}$=$\frac{9}{20}$．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{35}{120}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{63}{120}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{120}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{35}{120}$	$\frac{63}{120}$	$\frac{21}{120}$	$\frac{1}{120}$

EX=$0×\frac{35}{120}+1×\frac{63}{120}+2×\frac{21}{120}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，在歷年高考中都是必考題型之一，是中檔題．