Question

5．定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x-3）=f（x+3）與f（3-x）=f（3+x），x∈[-3，0]時(shí)．f（x）=2^-x-2，方程f（x）-2log₃（2x+3）=0在區(qū)間（0，2016）內(nèi)解的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 將x換為x+3，可得f（x+6）=f（x），則f（x）為最小正周期為6的函數(shù)，由f（3-x）=f（x-3），將x換為3-x，可得f（x）=f（-x），即f（x）為偶函數(shù)，作出函數(shù)y=2log₃（2x+3）和f（x）在（0，2016）的圖象，由2log₃33＞f（15），可得方程在區(qū)間（0，2016）內(nèi)解的個(gè)數(shù)．

解答 解：由f（x-3）=f（x+3），
將x換為x+3，
可得f（x+6）=f（x），
則f（x）為最小正周期為6的函數(shù)，
又f（3-x）=f（3+x），可得
f（3-x）=f（x-3），
將x換為3-x，可得f（x）=f（-x），
即f（x）為偶函數(shù)，
由x∈[-3，0]時(shí)．f（x）=2^-x-2，
可得x∈[0，3]時(shí)．f（x）=2^x-2，
由f（x）在[-3，0]遞減，可得f（x）≤f（-3）=6，
畫出函數(shù)y=2log₃（2x+3）的圖象，可得函數(shù)y在（0，2016）遞增，
運(yùn)用周期函數(shù)的圖象畫法，可得f（x）在（0，2016）的圖象，
由f（15）=f（15-12）=f（3）=f（-3）=6，
而2log₃33＞6，可得方程f（x）-2log₃（2x+3）=0
在區(qū)間（0，2016）內(nèi)解的個(gè)數(shù)是4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的解的個(gè)數(shù)的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，同時(shí)考查函數(shù)的周期性和奇偶性、對(duì)稱性的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．