Question

5．甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，每一局2人獲勝的概率相等，誰(shuí)先贏(yíng)得規(guī)定的局?jǐn)?shù)就獲勝．
（Ⅰ）若甲還需n局，乙還需3局才能獲勝（n＞3），求甲獲勝的概率；
（Ⅱ）若規(guī)定連勝兩局者獲勝，比賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則約定獲勝局?jǐn)?shù)多者獲勝，記比賽總局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若進(jìn)行n局比賽，則甲獲勝的概率為$（\frac{1}{2}）^{n}$；若進(jìn)行n+1局比賽，則最后一局比賽甲獲勝，且前n局比賽中甲負(fù)一局；若進(jìn)行n+2局比賽，則最后一局比賽甲獲勝，且前n局比賽中甲負(fù)兩局．由此能求出甲獲勝的概率．
（Ⅱ）用A表示甲羸得比賽的事件，A_k表示第k局甲獲勝，B_k表示第k局乙獲勝，比賽總局?jǐn)?shù)X的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與期望．

解答 解：（Ⅰ）若進(jìn)行n局比賽，則甲獲勝的概率為$（\frac{1}{2}）^{n}$，
若進(jìn)行n+1局比賽，則最后一局比賽甲獲勝，且前n局比賽中甲負(fù)一局，概率為${C}_{n}^{1}（\frac{1}{2}）^{n+1}$，
若進(jìn)行n+2局比賽，則最后一局比賽甲獲勝，且前n局比賽中甲負(fù)兩局，概率為${C}_{n}^{2}（\frac{1}{2}）^{n+2}$，
∴甲獲勝的概率P=$（\frac{1}{2}）^{n}+{C}_{n}^{1}（\frac{1}{2}）^{n+1}+{C}_{n}^{2}（\frac{1}{2}）^{n+2}$．
（Ⅱ）用A表示甲羸得比賽的事件，A_k表示第k局甲獲勝，B_k表示第k局乙獲勝，
比賽總局?jǐn)?shù)X的可能取值為2，3，4，5，
P（X=2）=P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=P（A₁B₂B₃）+P（B₁A₂A₃）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=4）=P（A₁B₂A₃A₄）+P（B₁A₂B₃B₄）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=5）=P（A₁B₂A₃B₄A₂）+P（B₁A₂B₃A₄B₅）+P（B₁A₂B₃A₄A₅）+P（A₁B₂A₃B₄B₅）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（X）=$2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{8}$=$\frac{23}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件乘法概率公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．