【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)= x+m(m,n∈R).
(1)若T(x)=f(x)g(x),m=1﹣ ,求T(x)在[0,1]上的最大值;
(2)若m=﹣ ,n∈N* , 求使f(x)的圖象恒在g(x)圖象上方的最大正整數(shù)n.[注意:7<e2 ].

【答案】
(1)解:T(x)=f(x)g(x)

=ex x+m)=ex x+1﹣ );

故T′(x)=ex x+1);

則當(dāng)n≥﹣2時,T′(x)≥0;

故T(x)在[0,1]上的最大值為T(1)=e;

當(dāng)n<﹣2時,x∈[0,﹣ )時,T′(x)>0;x∈(﹣ ,1]時,T′(x)<0;

T(x)在[0,1]上的最大值為T(﹣ )=﹣


(2)解:由題意,f(x)=ex,g(x)= x﹣ ;

故f(x)的圖象恒在g(x)圖象上方可化為

F(x)=f(x)﹣g(x)=ex x+ >0恒成立;F′(x)=ex ;

故F(x)在(﹣∞,ln )上是減函數(shù),在(ln ,+∞)上是增函數(shù);

故可化為F(ln )>0;即 (1﹣ln )+ >0;

令G(n)= (1﹣ln )+ ;故G′(n)=﹣ (ln +1)<0;

故G(n)= (1﹣ln )+ 是[1,+∞)上的減函數(shù),

而G(2e2)=﹣e2+ >0;G(14)=7(1﹣ln7)+ >0;

G(15)=7.5(1﹣ln7.5)+ <0;故最大正整數(shù)n為14


【解析】(1)T(x)=f(x)g(x)=ex x+m)=ex x+1﹣ );求導(dǎo)T′(x)=ex x+1);從而確定函數(shù)的最大值;(2)由題意,f(x)=ex,g(x)= x﹣ ;故f(x)的圖象恒在g(x)圖象上方可化為F(x)=f(x)﹣g(x)=ex x+ >0恒成立;從而化為最值問題.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】觀察下表:

1,

2,3,

4,5,6,7,

8,9,10,11,12,13,14,15,

……

問:(1)此表第n行的第一個數(shù)與最后一個數(shù)分別是多少?

(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少?

(3)2012是第幾行的第幾個數(shù)?

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【題目】若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y﹣4>0,x,y∈A},則集合B中的元素個數(shù)為(
A.9
B.6
C.4
D.3

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=aex﹣xlnx,其中a∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),求a的取值范圍;
(Ⅱ)若 ,證明:f(x)>0.

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【題目】定義在(﹣1,+∞)上的單調(diào)函數(shù)f(x),對于任意的x∈(﹣1,+∞),f[f(x)﹣xex]=0恒成立,則方程f(x)﹣f′(x)=x的解所在的區(qū)間是(
A.(﹣1,﹣
B.(0,
C.(﹣ ,0)
D.(

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【題目】某醫(yī)療科研項目對5只實驗小白鼠體內(nèi)的A、B兩項指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析,得到的數(shù)據(jù)如下表:

指標(biāo)

1號小白鼠

2號小白鼠

3號小白鼠

4號小白鼠

5號小白鼠

A

5

7

6

9

8

B

2

2

3

4

4


(1)若通過數(shù)據(jù)分析,得知A項指標(biāo)數(shù)據(jù)與B項指標(biāo)數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系,試根據(jù)上表,求B項指標(biāo)數(shù)據(jù)y關(guān)于A項指標(biāo)數(shù)據(jù)x的線性回歸方程 = x+ ;
(2)現(xiàn)要從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只,求其中至少有一只B項指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的概率. 參考公式: = = , =

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【題目】若f(x)=sin(2x+φ)+b,對任意實數(shù)x都有f(x+ )=f(﹣x),f( )=﹣1,則實數(shù)b的值為(
A.﹣2或0
B.0或1
C.±1
D.±2

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【題目】對數(shù)列{an},如果k∈N*及λ1 , λ2 , …,λk∈R,使an+k1an+k12an+k2+…+λkan成立,其中n∈N* , 則稱{an}為k階遞歸數(shù)列.給出下列三個結(jié)論: ①若{an}是等比數(shù)列,則{an}為1階遞歸數(shù)列;
②若{an}是等差數(shù)列,則{an}為2階遞歸數(shù)列;
③若數(shù)列{an}的通項公式為 ,則{an}為3階遞歸數(shù)列.
其中,正確結(jié)論的個數(shù)是(
A.0
B.1
C.2
D.3

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(1)求數(shù)列{ an}和{bn}的通項an , bn
(2)設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求Tn , 并求滿足Tn<7時n的最大值.

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