Question

已知實數(shù)x，y滿足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

．
（1）求z=2x+y的最小值和最大值； 
（2）求z=

y+1

x+1

的取值范圍；
（3）求z=x²+y²的最小值；        
（4）求z=|x+y+1|最小值．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部．再作出直線l：z=2x+y，并將l進行平移，可得當(dāng)x=y=1時，z達到最小值3；當(dāng)x=5且y=2時，z達到最大值12；
（2）目標函數(shù)z=

y+1

x+1

表示可行域內(nèi)一點（x，y）與定點D（-1，-1）連線的斜率，結(jié)合圖形加以觀察，可得z的最小值為kCD=

1

2

，最大值為kAD=

27

10

，由此即可得到z=

y+1

x+1

的取值范圍；
（3）根據(jù)兩點間的距離公式，可得z=x²+y²表示可行域內(nèi)一點（x，y）與原點距離的平方．結(jié)合圖形加以觀察，可得z=x²+y²的最小值為|BO|²=2；
（4）根據(jù)點到直線的距離公式，設(shè)d=

z

2

=

|x+y+1|

2

表示可行域內(nèi)一點（x，y）到直線x+y+1=0的距離．觀察圖形可得當(dāng)可行域內(nèi)點與B重合時，d達到最小值，由此即可算出z=|x+y+1|最小值為3．

解答：解：∵實數(shù)x，y滿足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

∴作出可行域，得到△ABC及其內(nèi)部．其中A（1，

22

5

），B（1，1），C（5，2），如圖所示
（1）作出直線l：z=2x+y，并將l進行平移，可得
當(dāng)l經(jīng)過點B時，z達到最小值；當(dāng)l經(jīng)過點C時，z達到最大值；
∴Z_min=2×1+1=3，Z_max=2×5+2=12
即z=2x+y的最小值和最大值分別為3，12．…（3分）
（2）∵z=

y+1

x+1

=

y-(-1)

x-(-1)

表示可行域內(nèi)一點（x，y）與定點D（-1，-1）連線的斜率
∴由圖可知k_CD≤z≤k_AD
∵kCD=

2+1

5+1

=

1

2

，kAD=

22 5 +1

1+1

=

27

10

∴z=

y+1

x+1

的取值范圍是[

1

2

，

27

10

]．…（6分）
（3）∵z=x²+y²表示可行域內(nèi)一點（x，y）與原點距離的平方
∴由圖可知當(dāng)點（x，y）與B重合時，到原點的距離最小，z=x²+y²同時取到最小值
∵|BO|=

(1-0)2+(1-0)2

=

2

∴z=x²+y²的最小值為|BO|²=2；．…（9分）
（4）∵z=|x+y+1|，
∴d=

z

2

=

|x+y+1|

2

表示可行域內(nèi)一點（x，y）到直線x+y+1=0的距離
因此作出直線x+y+1=0，由圖可知可行域內(nèi)的點B到該直線的距離最小
∴點B到直線x+y+1=0的距離d₀=

|1+1+1|

2

=

3 2

2

，
可得可行域內(nèi)的點到直線x+y+1=0的距離最小值為

3 2

2

因此，z_min=

2

d₀=3，即z=|x+y+1|最小值為3．…（12分）

點評：本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，求幾個目標函數(shù)的最值和取值范圍．著重考查了平面內(nèi)兩點的距離公式、點到直線的距離公式和簡單的線性規(guī)劃等知識點，屬于中檔題．