Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-2．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n=$\frac{19}{20}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2，當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，兩式相減即可得到a_n=2a_n-1，當(dāng)n=1時，數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求得{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知，將a_n=2ⁿ代入，b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，利用“裂項法”，b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，累加法即可求得T_n=$\frac{19}{20}$=$\frac{n}{n+1}$，代入即可求得n的值．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-2，a₁=2，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴{a_n}的通項公式，a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
T_n=$\frac{19}{20}$=$\frac{n}{n+1}$，
解得：n=19，
n的值19．

點(diǎn)評 本題考查求等比數(shù)列通項公式，利用“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．