Question

15．已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，若S₃S₅-${S}_{4}^{2}$=-16，a₂a₄=32，求S₄的值．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，當(dāng)q=1時(shí)，已知不成立，當(dāng)q≠1時(shí)，由已知列式求得首項(xiàng)和公比，再代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
若q=1，由S₃S₅-${S}_{4}^{2}$=-16，a₂a₄=32，得
$15{{a}_{1}}^{2}-16{{a}_{1}}^{2}=-16$，${{a}_{1}}^{2}=32$，此兩式不同時(shí)成立，∴q≠1；
q≠1時(shí)，由S₃S₅-${S}_{4}^{2}$=-16，a₂a₄=32，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}•\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}-（\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}）^{2}=-16}\\{{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}=32}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)得：$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}=16}\\{{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}=32}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=±\sqrt{2}$，q=2．
∴${S}_{4}=\frac{±\sqrt{2}（1-{2}^{4}）}{1-2}=±15\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，是中檔題．