Question

15．在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=4，a₄+a₇=15．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}-2}$+n，求數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得首項(xiàng)和公差的方程，解方程即可得到所求；
（2）求得b_n=2${\;}^{{a}_{n}-2}$+n=2ⁿ+n，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=4，a₄+a₇=15．
得a₁+d=4，（a₁+3d）+（a₁+6d）=15，
解得a₁=3，d=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=3+n-1=n+2；
（2）由（1）可得b_n=2${\;}^{{a}_{n}-2}$+n=2ⁿ+n，
所以b₁+b₂+b₃+…+b₁₀=（2+1）+（2²+2）+（2³+3）+…+（2¹⁰+10）
=（2+2²+2³+…+2¹⁰）+（1+2+3+…+10）
=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$+$\frac{（1+10）×10}{2}$=（2¹¹-2）+55=2¹¹+53=2101．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．