Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)M（0，-1），四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的圖形面積為2

2

．直線l：y=kx+t與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且∠AMB=90°．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試判斷直線l是否恒過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得

b=1 2ab=2 2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立橢圓與直線方程：

x2 2 +y2=1 y=kx+t

，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，由此能推導(dǎo)出直線l恒過定點(diǎn)（0，

1

3

）．

解答： 解：（1）由題意得

b=1 2ab=2 2

，解得

a= 2 b=1

，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立橢圓與直線方程：

x2 2 +y2=1 y=kx+t

，
得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
∴△＞0，且x1+x2=-

4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）
=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=

2k2t2-2k2-4k2t2+t2+2k2t2

1+2k2

，
=

-2k2+t2

1+2k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2t=

2t

1+2k2

，
∵

MA

=（x₁，y₁+1），

MB

=（x₂，y₂+1），且∠AMB=90°，
∴

MA

•

MB

=x₁x₂+y₁y₂+y₁+y₂+1
=

2k2-2

1+2k2

+

-2k2+t2

1+2k2

+

2t

1+2k2

+1
=

2t2-2-2k2+t2+2t+1+2k2

1+2k2

=

3t2+2t-1

1+2k2

=0，
解得t=

1

3

或t=-1（舍），
∴直線l的方程為y=kx+

1

3

，
∴直線l恒過定點(diǎn)（0，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．