Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow$=（-2，3）．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|與|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）求當(dāng)k為何值時(shí)，向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$垂直？
（3）求當(dāng)k為何值時(shí)，向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$平行？并確定兩向量平行時(shí)，它們是同向還是反向？

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標(biāo)，代入模長公式計(jì)算；
（2）求出$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$的坐標(biāo)，令（$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$）=0列方程解出；
（3）令10（2k-2）+4（k+3）=0解出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（0，4），$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（4，-2）．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=4，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$．
（2）$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（2k-2，k+3），$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$=（-4，10）．
當(dāng)向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$垂直時(shí)，（$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$）=0，
即-4（2k-2）+10（k+3）=0，解得k=-19．
（3）當(dāng)向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$平行時(shí)，10（2k-2）+4（k+3）=0，
解得k=$\frac{1}{3}$．
此時(shí)$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（-$\frac{4}{3}$，$\frac{10}{3}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$）．
∴k$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$方向相同．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于中檔題．