Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，則一下四個命題中正確的是（　�。�
（1）tanA•cotB=1；
（2）1＜sinA+sinB≤

2

；
（3）sin2A+cos2B=1；
（4）cos2a+cos2B=sin2C．

• A、（1）（3）
• B、（2）（4）
• C、（1）（4）
• D、（2）（3）

Answer 1

考點：運用誘導(dǎo)公式化簡求值,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：已知等式左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，右邊利用內(nèi)角和定理及二倍角的正弦函數(shù)公式變形，整理求出cos（A+B）=0，即A+B=90°，即可對于各項做出判斷．

解答： 解：∵tan

A+B

2

=sinC，
∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

，
整理求得cos（A+B）=0，
∴A+B=90°，
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，選項（1）不正確；
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
∵45°＜A+45°＜135°，
∴

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤

2

，選項（2）正確；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C，選項（4）正確；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故選項（3）不正確，
綜上，選項（2）（4）正確．
故選：B．

點評：此題考查了運用誘導(dǎo)公式化簡求值，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．