Question

如圖，在圓錐PO中，已知PO=

2

，⊙O的直徑AB=2，點(diǎn)C在

AB

上，且∠CAB=30°，D為AC的中點(diǎn)，則直線OC和平面PAC所成角的正弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可證面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性質(zhì)考慮在平面POD中過(guò)O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC，∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可．

解答： 解：因?yàn)镺A=OC，D是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面內(nèi)的兩條相交直線
所以AC⊥平面POD，又AC?平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，過(guò)O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC
連接CH，則CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=DA．sin30°=

1

2

，
在Rt△POD中，OH=

2 × 1 2

2+ 1 4

=

2

3

，
在Rt△OHC中，sin∠OCH=

OH

OC

=

2

3

，
故直線OC和平面PAC所成的角的正弦值為

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，空間直線與平面所成角的求解，考查了運(yùn)算推理的能力及空間想象的能力．