Question

11．2015年12月27日全國(guó)人大常委會(huì)表決通過(guò)了人口與計(jì)劃生育法修正案全面二孩定于20I6年1月1日起正式實(shí)施，為了解適齡民眾對(duì)放開生育二胎政策的態(tài)度，某機(jī)構(gòu)從某市選取70后和80后作為調(diào)查對(duì)象．隨機(jī)調(diào)查了100位，得到數(shù)據(jù)如下表：

	生二孩	不生二孩	合計(jì)
70后	30	15	45
80后	45	10	55
合計(jì)	75	25	100

（1）以這100個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率估計(jì)概率，若以該市70后公民中隨機(jī)抽取3位，記其中生二孩的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下（有90%以上自把握）認(rèn)為“生二孩與年齡有關(guān)”？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得70后“生二胎”的概率為$\frac{2}{3}$，且X～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）求出K²=$\frac{100}{33}≈3.030＞2.706$，由此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下（有90%以上自把握）認(rèn)為“生二孩與年齡有關(guān)”．

解答 解：（1）由已知得70后“生二胎”的概率為$\frac{2}{3}$，且X～B（3，$\frac{2}{3}$），
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{9}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

∴EX=3×$\frac{2}{3}$=2．
（2）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
=$\frac{100×（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$=$\frac{100}{33}≈3.030＞2.706$，
∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下（有90%以上自把握）認(rèn)為“生二孩與年齡有關(guān)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下（有90%以上自把握）認(rèn)為“生二孩與年齡有關(guān)的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．