Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）求證：（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\frac{1}{3}$，求cosx的值；
（3）求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+2|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值及相應的x的值．

Answer 1

分析 （1）分別求得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的模，運用向量的平方即為模的平方，計算即可得證；
（2）運用向量的數(shù)量積的坐標表示和兩角和的余弦公式，可得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的數(shù)量積，再由向量的平方即為模的平方，結(jié)合二倍角公式，計算即可得到所求值；
（3）運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，化簡整理可得f（x）的解析式，再由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最小值和相應的x的值．

解答 解：（1）證明：向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{3x}{2}+si{n}^{2}\frac{3x}{2}}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{x}{2}+si{n}^{2}\frac{x}{2}}$=1，
即有（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²=1-1=0，
則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cos2x，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\frac{1}{3}$，可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=$\frac{1}{9}$，
即為$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{9}$，即2-2cos2x=$\frac{1}{9}$，
可得cos2x=$\frac{17}{18}$，即2cos²x=$\frac{25}{18}$，
由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，可得cosx=$\frac{5}{6}$；
（3）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+2|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos2x+2$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=cos2x+$\sqrt{2+2cos2x}$=2cos²x+2cosx-1，
由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，可得cosx∈[0，1]，
令t=cosx（t∈[0，1]），
則y=2t²+2t-1=2（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，
可得函數(shù)在[0，1]遞增，
即有t=0，即x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最小值，且為-1．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示和三角函數(shù)的化簡和求值，考查向量垂直的條件和模的公式，以及三角函數(shù)的恒等變換公式的運用，同時考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．