Question

2．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上是減函數(shù)，若α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則下列不等式中正確的是（　�。�

• A． f（cosα）＜f（sinβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（cosα）＞f（sinβ）
• D． f（sinα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析 由題意可知：函數(shù)的周期為2，根據(jù)偶函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可求得f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)，由α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，求得α和β的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答 解：由f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)的周期為2，
∵f（x）在[-3，-2]上為減函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∵在銳角三角形中，π-α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴α+β＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$-β＜α，
∵α，β是銳角，
∴0＜$\frac{π}{2}$-β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故答案選：D．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導公式的應(yīng)用，綜合性較強，涉及的知識點較多，屬于中檔題．