Question

求函數(shù)f（x）=x²-2ax+1在區(qū)間[1，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將f（x）配方得：f（x）=（x-a）²+1-a²，所以對稱軸是x=a，所以討論對稱軸x=a和區(qū)間[1，3]的關(guān)系：有三種關(guān)系：（1）對稱軸在區(qū)間的右邊，（2）對稱軸在區(qū)間上，（3）對稱軸在區(qū)間左邊，為便于比較f（1），f（3）的大小，第二種情況又分為在區(qū)間（1，

3

2

]，和區(qū)間（

3

2

，3）上，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點求出每種情況下的f（x）的最大值，最小值即可．

解答： 解：f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²；
①若a≥3，則函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，所以：
f（x）的最大值為f（1）=2-2a，f（x）的最小值為f（3）=10-6a；
②若1＜a≤

3

2

，f（x）的最大值為f（3）=10-6a，最小值為f（a）=1-a²；
③若

3

2

＜a＜3，f（x）的最大值是f（1）=2-2a，最大值為f（a）=1-a²；
④若a≤1，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，所以：
f（x）的最大值為f（3）=10-6a，最小值為f（1）=2-2a．

點評：考查根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點的情況求二次函數(shù)最值的方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性和對稱軸的關(guān)系．