【題目】函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,時,恒成立,求正整數(shù)的最大值.
【答案】(1)見解析
(2)
【解析】
(1)對求導(dǎo),再因式分解,討論每個因式的正負(fù),再判斷的正負(fù),進(jìn)而判斷的單調(diào)性;(2)代入,將不等式中的和分離在不等號兩邊,然后討論不等號含有一邊的函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而判斷最值,再計算的取值范圍,由是正整數(shù)的條件可求出的最大值.
解:(1)函數(shù)的定義域為,
①當(dāng)時,因為,故有.
此時函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.
②當(dāng),有,方程的兩根分別是:
函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減.
③當(dāng)時,易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)
設(shè)
當(dāng)時,有,
設(shè)
在上單調(diào)遞增,
又在上的函數(shù)圖像是一條不間斷的曲線,
且,
存在唯一的,使得,即.
當(dāng);
當(dāng),
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,
,
時,不等式對任意恒成立,
正整數(shù)的最大值是3.
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【題目】為了解運動健身減肥的效果,某健身房調(diào)查了20名肥胖者,測量了他們的體重(單位:千克).健身之前他們的體重情況如三維餅圖(1)所示,經(jīng)過半年的健身后,他們的體重情況如三維餅圖(2)所示,對比健身前后,關(guān)于這20名肥胖者,下面結(jié)論正確的是( )
A.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)不變
B.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)減少了2個
C.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減輕
D.他們健身后,這20位肥胖著的體重的中位數(shù)位于區(qū)間
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與橢圓交于兩點,且(其中為坐標(biāo)原點),若橢圓的離心率滿足,則橢圓長軸的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知數(shù)列的首項,前項和為,且滿足.
(1)若數(shù)列為遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式.
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【題目】圖1是某高架橋箱梁的橫截面,它由上部路面和下部支撐箱兩部分組成.如圖2,路面寬度,下部支撐箱CDEF為等腰梯形(),且.為了保證承重能力與穩(wěn)定性,需下部支撐箱的面積為,高度為2m且,若路面AB.側(cè)邊CF和DE,底部EF的造價分別為4a千元/m,5a千元/m,6a千元/m(a為正常數(shù)),.
(1)試用θ表示箱梁的總造價y(千元);
(2)試確定cosθ的值,使總造價最低?并求最低總造價.
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【題目】斜率為的直線過拋物線的焦點,且與拋物線交于、兩點.
(1)設(shè)點在第一象限,過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,為垂足,且,直線與直線關(guān)于直線對稱,求直線的方程;
(2)過且與垂直的直線與圓交于、兩點,若與面積之和為,求的值.
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【題目】斜率為的直線過拋物線:的焦點,且與拋物線交于,兩點.
(1)設(shè)點在笫一象限,過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,為垂足,且,求點的坐標(biāo);
(2)過且與垂直的直線與圓:交于,兩點,若與面積之和為,求的值.
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【題目】如圖,某中學(xué)甲、乙兩班共有25名學(xué)生報名參加了一項 測試.這25位學(xué)生的考分編成的莖葉圖,其中有一個數(shù)據(jù)因電腦操作員不小心刪掉了(這里暫用x來表示),但他清楚地記得兩班學(xué)生成績的中位數(shù)相同.
(Ⅰ)求這兩個班學(xué)生成績的中位數(shù)及x的值;
(Ⅱ)如果將這些成績分為“優(yōu)秀”(得分在175分 以上,包括175分)和“過關(guān)”,若學(xué)校再從這兩個班獲得“優(yōu)秀”成績的考生中選出3名代表學(xué)校參加比賽,求這3人中甲班至多有一人入選的概率.
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