Question

16．給出以下命題：①y=2x²的焦點坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$，0）；
②命題“若a＜b，則am²＜bm²”的否命題是假命題；
③采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號抽取5名同學(xué)參加活動，若已知學(xué)號為5，16，38，49的同學(xué)被選出，則被選出的另一個同學(xué)的學(xué)號為27；
④“x≥1”是“?a∈[-3，3]，不等式x²+ax+3≥a恒成立”的充分條件．
上述命題正確的是③④．

Answer 1

分析 ①把拋物線y=2x²化為標(biāo)準方程，求出焦點坐標(biāo)即可判斷正誤；
②寫出該命題的否命題并判斷其真假；
③根據(jù)系統(tǒng)抽樣法的特征是間隔相等，求出這組樣本數(shù)據(jù)的另一數(shù)值；
④x≥1時，利用分離常數(shù)法把不等式x²+ax+3≥a化為a≥-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$]-2，
再利用基本不等式求出t=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$]-2的最大值，從而判斷充分性成立，是充分條件．

解答 解：對于①，拋物線y=2x²的標(biāo)準方程是x²=$\frac{1}{2}$y，
∴P=$\frac{1}{4}$，焦點坐標(biāo)是（0，$\frac{1}{8}$），①錯誤；
對于②，命題“若a＜b，則am²＜bm²”的否命題是
“若a≥b，則am²≥bm²”，它是真命題，∴②錯誤；
對于③，根據(jù)采用系統(tǒng)抽樣法的特征是間隔相等，知若樣本中的學(xué)號為5，16，38，49，
則被選出的另一個同學(xué)的學(xué)號為16+（16-5）=27，∴③正確；
對于④，當(dāng)x≥1時，不等式x²+ax+3≥a可化為
a（x-1）≥-3-x²，
∴a≥$\frac{-3{-x}^{2}}{x-1}$
=$\frac{{-（x-1）}^{2}-2（x-1）-4}{x-1}$
=-（x-1）-$\frac{4}{x-1}$-2
=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$]-2，
當(dāng)x≥1時，t=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$]-2的最大值是-2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$-2=-6，
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時取“=”，
∴“?a∈[-3，3]，不等式x²+ax+3≥a恒成立”，即充分性成立，是充分條件，④正確．
綜上，以上命題正確的是③④．
故答案為：③④．

點評 本題考查了拋物線的定義與標(biāo)準方程的應(yīng)用問題，也考查了系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用問題，考查了四種命題之間的關(guān)系以及充分條件的判斷問題，是綜合性題目．